작성자: admin 작성일시: 2016-05-03 08:47:23 조회수: 1234 다운로드: 78
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확률의 성질

확률은 여러가지 성질을 가진다. 이 중에서 앞으로 많이 사용될 5가지 성질을 생각해 보도록 하자. 이 성질들은 확률의 정의 자체가 아니라 정의로부터 유도된 것들이라는 것에 주의해야 한다.

  • 공집합의 확률
$$ P(\emptyset) = 0 $$
  • 여집합의 확률
$$ P(A^C) = 1 - P(A) $$
  • 분배 법칙
$$ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) $$$$ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) $$
  • 포함-배제 원리
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) $$
  • 전체 확률의 법칙
$$ P(A) = \sum_i P(A \cap C_i) $$

사건의 예

확률의 성질을 보다 잘 이해하기 위해 확률 사건의 예를 생각해 보자.

12명의 사람의 모임이 있다고 가정하자. 이 모임에는 여자도 있고 남자도 있다. 또 성별에 관계없이 머리가 짧은 사람과 머리가 긴 사람의 두 그룹으로 나눌 수 있다고 가정한다.

이 경우에 한 명의 사람은 확률 표본이 된다. 그리고 전체 12명의 집합은 확률 공간이다. 확률 공간으로 부터 몇 명인가의 사람을 선택한다면 이 부분 집합을 사건이라고 부른다.

다음과 같은 사건들은 생각해 보자

  • 전체 사람들 중에서 남자들만의 모임은 부분집합이므로 사건이라고 부를 수 있다. 이를 사건 $A$라고 한다.
  • 전체 사람들 중에서 머리가 긴 사람들만의 모임도 부분집합이므로 사건이라고 부를 수 있다. 이를 사건 $B$라고 한다.
  • 나이가 $i$살인 사람들의 집합도 부분집합이므로 사건이다. 예를 들어 나이가 1살인 사람의 집합은 $C_1$, 예를 들어 나이가 2살인 사람의 집합은 $C_2$, 예를 들어 나이가 3살인 사람의 집합은 $C_3$, ... 이런 식으로 $C_{200}$까지의 집합을 만들 수 있다.

참고로 원소의 갯수가 반드시 1보다 커야지만 사건(부분집합)이 되는 것이 아니다. 원소의 갯수가 0인 경우, 즉 원소가 없는 부분집합도 사건이다. 예를 들어 이 사람들 중에 90살인 사람이 존재하지 않는다면 $C_{90}$의 원소의 갯수는 0이다.

그리고 여기에서는 확률을 사건에 속하는 표본의 수를 사용하여 정의하도록 하자. 예를 들어 표본 집합에 100명이 사람(원소)이 있고 어떤 사건에는 20명의 사람이 있다면 이 사건의 확률은 $20/100 = 1/5$가 된다. 이렇게 정의했을 경우, 뒤으로 서술할 정리에서 "확률"이라는 말을 "사람의 수"라는 말로 바꾸어서 생각하면 이해하기 쉬워진다.

하지만 앞에서도 말했둣이 이 방법은 확률을 정의하는 방법 중 하나일 뿐이고 반드시 확률이란 것이 이런 식으로 정해져야 하는 것은 아니라는 점을 명심한다.

연습 문제 1

위 표본 집합과 사건의 원소의 갯수와 확률을 마음대로 정해 본다. 이 값은 다음 연습 문제에서 사용하게 된다.

성질 1. 공집합의 확률

공집합인 사건의 확률은 0이다.

(증명)

확률의 정의로부터 사건 $A$와 사건 $B$가 공통원소가 없다면 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$이 된다.

$B = \emptyset$인 경우 $A$와 $B$의 공통원소는 없으며 $A \cup B = A$

$$P(A \cup B) = P(A) = P(A) + P(B)$$$$ \therefore P(B) = 0 $$

성질 2. 여집합의 확률

어떤 사건의 여집합인 사건의 확률은 (1 - 원래 사건의 확률)과 같다.

어떤 사건의 여집합이란 그 사건의 표본이 아닌 표본의 집합을 말하며 사건 기호에 $C$라는 윗첨자를 붙여서 표시한다. 위의 예에서는 $A^C$는 남자라는 부분집합 $A$에 대한 여집합이므로 여자의 집합이 된다.

$$ P\{A^C\} = 1 - P\{A\} $$

(증명)

확률의 정의로부터 사건 $A$와 사건 $B$가 공통원소가 없다면 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$이 된다.

$B = A^C$인 경우 $A$와 $B$의 공통원소는 없다.

$$P(A \cup A^C) = P(\Omega) = 1 = P(A) + P(A^C)$$$$ \therefore P(A^C) = 1 - P(A) $$

성질 3. 분배 법칙

곱셈과 덧셈의 분배 법칙은 다음과 같다.

$$ a \times (b + c) = a \times b + a \times c $$

곱셈과 덧셈의 분배 법칙처럼 교집합과 합집합도 괄호를 풀어내는 분배법칙이 성립힌다.

$$ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) $$$$ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) $$

(증명)

두 집합이 같다는 것을 증명하려면 한 집합에 속한 원소가 다른 집합의 원소가 된다는 것을 증명하면 된다.

즉, $ x ∈ A ∪ (B ∩ C) $ 이면 $ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) $ 가 성립하고

반대로 $ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) $ 이면 $ x ∈ A ∪ (B ∩ C) $ 도 성립한다는 것을 보인다.

$$ x ∈ A ∪ (B ∩ C) $$$$ x ∈ A \text{ or } x ∈ (B \text{ and } C) $$$$ x ∈ A \text{ or } \{ x ∈ B \text{ and } x ∈ C \} $$$$ \{ x ∈ A \text{ or } x ∈ B \} ) \text{ and } \{x ∈ A \text{ or }x ∈ C \} $$$$ x ∈ (A \text{ or } B) \text{ and } x ∈ (A \text{ or } C) $$$$ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) $$

같은 방법으로 반대 방향도 증명할 수 있다.

성질 4. 포함-배제 원리

두 사건의 합집합의 확률은 각 사건의 확률의 합에서 두 사건의 교집합의 확률을 뺀 것과 같다.

두 사건의 합집합이란 두 사건 중 어느 하나라도 해당되는 경우가 발생하는 것을 말하고 $\cup$ 기호를 사용하여 표기한다.

두 사건의 교집합이란 두 사건 모두에 해당되는 경우가 발생하는 것을 말하고 $\cap$ 기호를 사용하여 표기한다.

위의 예에서 사건 $A$와 사건 $B$의 교집합이란 남자의 집합에 속하면서 머리가 긴 사람의 집합에 속하는 사람의 집합 즉, 장발 남자의 집합을 말한다.

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) $$

(증명)

$$ \begin{eqnarray*} P(A \cup B) &=& P(A \cup (B\cap A^C)) \\ &=& P(A) + P(B\cap A^C) \\ &=& P(A) + P(B\cap A^C) + P(A ∩ B) – P(A ∩ B) \\ &=& P(A) + P((A^C\cap B) ∪ (A ∩ B)) – P(A ∩ B) \\ &=& P(A) + P(B) – P(A ∩ B) \end{eqnarray*} $$

성질 5. 전체 확률의 법칙

복수의 사건 $C_i$가 다음을 만족하는 사건들인 경우,

  • 서로 교집합이 없고 $$ C_i \cap C_j = \emptyset $$

  • 모두 합쳤을 때 (합집합) 전체 표본 공간이면 $$ C_1 \cup C_2 \cup \cdots = \Omega $$

모든 사건 $A$에 대해 다음 등식이 성립한다. 즉 사건 $A$의 확률은 사건 $A$와 사건 $C_i$가 동시에 발생할 사건들의 확률의 합과 같다.

$$ P(A) = \sum_i P(A \cap C_i) $$

위의 예를 사용하면 사건 $P(A\cap C_1) $은 한 살인 남자의 집합이고 전체 확률의 법칙은 다음과 같이 이해할 수 있다.

한 살 남자의 사건의 확률과 두 살 남자의 사건의 확률, 이 이외에도 각각의 나이에 해당하는 남자의 사건들의 확률을 모두 합치면 남자라는 사건의 확률이 된다.

(증명) $$ \begin{eqnarray} A &=& A \cap \Omega \\ &=& A \cap (C_1 \cup C_2 \cup \cdots ) \\ &=& (A \cap C_1) \cup (A \cap C_2) \cup \cdots \\ \end{eqnarray} $$

$A \cap C_i$ 는 모두 서로 공통 원소가 없다. 따라서 확률의 정의에 따라 다음 등식이 성립.

$$ P(A) = P(A \cap C_1) \cup P(A \cap C_2) \cup \cdots = \sum_i P(A\cap C_i) $$

연습 문제 2

위에서 정한 확률 값을 이용하여 위의 4가지 성질이 성립하는지 실제 예를 하나씩 만들어 본다.

질문/덧글

마지막 증명에 있는 "A∩Bi 는 모두 서로 공통 원소가 없다"가 무슨 말을 의미하는지 모르겠습니다... tada*** 2016년 5월 15일 3:40 오후

마지막 증명에 있는 "A∩Bi 는 모두 서로 공통 원소가 없다"가 무슨 말을 의미하는지 모르겠습니다...

답변: 마지막 증명에 있는 "A∩Bi 는 모두 서로 공통 원소가 없다"가 무슨 말을 의미하는지 모르겠습니다... 관리자 2016년 5월 15일 9:06 오후

다음 문장을 차례대로 읽어 보세요.

(1) B1과 B2는 "서로 공통 원소가 없다."
(2) B1, B2, B3, ,,, Bi,... 는 모두 "서로 공통 원소가 없다."
(3) A∩B1, A∩B2, A∩B3, ... A∩Bi,... 는 모두 서로 공통 원소가 없다.
(4) A∩Bi 는 모두 서로 공통 원소가 없다.